Dos curvas que se miran en el espejo de y = x
En la app anterior vimos que loga b = c equivale a ac = b. Ahora miramos esa misma relación como lo que realmente es: dos funciones, una la inversa exacta de la otra — y eso se puede ver, literalmente, en sus gráficas.
Una función que deshace a otra
Una función inversa f⁻¹ es la que "da marcha atrás": si f lleva a x hasta f(x), entonces f⁻¹ toma ese resultado y devuelve x. Para que esto funcione sin ambigüedad, f tiene que ser biyectiva — a cada entrada le corresponde una única salida, y viceversa.
El método algebraico
Para hallar f⁻¹, se intercambian x e y en la fórmula de f y se despeja la nueva y. Con f(x) = 2x + 3:
y = 2x + 3 → x = 2y + 3 → y = (x − 3)/2
f⁻¹(x) = (x − 3)/2
Probá cualquier valor: f⁻¹ siempre te devuelve exactamente lo que entró. Esa ida y vuelta — f⁻¹(f(x)) = x — es la prueba de que dos funciones son inversas entre sí. Es lo mismo que comprobamos con loga(aˣ) = x en la app anterior.
f(x) = aˣ
La variable independiente x vive en el exponente. La forma de la curva depende enteramente de la base a.
- Dominio: todos los reales (ℝ) — cualquier x es válido como exponente.
- Imagen: solo los reales positivos (y > 0) — una potencia de base positiva nunca da cero ni negativo.
- Asíntota horizontal: y = 0 — la curva se acerca al eje x pero nunca lo toca.
- Punto fijo: siempre pasa por (0, 1), porque a⁰ = 1 sea cual sea a.
- Monotonía: creciente si a > 1; decreciente si 0 < a < 1.
f(x) = loga x
Acá la variable x pasa a ser el número al que le preguntamos "¿qué exponente te generó?". Es la imagen espejada de la exponencial — literalmente, como vamos a ver en la próxima sección.
- Dominio: solo los reales positivos (x > 0) — no existe logaritmo de un número negativo o de cero.
- Imagen: todos los reales (ℝ) — el exponente puede ser cualquier número.
- Asíntota vertical: x = 0 — la curva se acerca al eje y pero nunca lo cruza.
- Punto fijo: siempre pasa por (1, 0), porque loga 1 = 0 sea cual sea a.
- Monotonía: creciente si a > 1; decreciente si 0 < a < 1.
El espejo de y = x
Cada punto (p, q) de la exponencial tiene su reflejo exacto (q, p) sobre la logarítmica. Moné el punto a lo largo de la curva dorada y mirá cómo su espejo cae, siempre, sobre la curva violeta.
Notá que las coordenadas se invierten exactamente: si la exponencial pasa por (p, q), la logarítmica pasa por (q, p). Eso es lo que significa, en una gráfica, que dos funciones sean inversas.
Todo lo que se invierte, en una tabla
Cada propiedad de una función tiene su contraparte exacta en la otra — porque son inversas.
| Propiedad | f(x) = aˣ | f⁻¹(x) = loga x |
|---|---|---|
| Dominio | ℝ (todos los reales) | x > 0 |
| Imagen / recorrido | y > 0 | ℝ (todos los reales) |
| Asíntota | horizontal, y = 0 | vertical, x = 0 |
| Punto fijo | (0, 1) | (1, 0) |
| Si a > 1 | creciente | creciente |
| Si 0 < a < 1 | decreciente | decreciente |
| Composición | f⁻¹(f(x)) = x | f(f⁻¹(x)) = x |
Cuando la incógnita vuelve a estar en el exponente
Volvamos al interés compuesto de la app 1. Ahí calculábamos cuánto crece un capital conociendo el tiempo. Ahora damos vuelta la pregunta: ¿cuánto tiempo hace falta para que un capital se multiplique por un factor dado? Esa pregunta, sin logaritmo, no tiene despeje posible.
Un mismo problema, mirado desde tres ángulos
Empezamos con una ecuación que no sabíamos resolver: 2ˣ = 10. Descubrimos que esa dificultad tenía nombre — faltaba una operación, el logaritmo — y una historia de casi cuatro siglos detrás. Y terminamos viendo que esa operación no es un truco de cálculo: es la función inversa de la exponencial, tan estructural como la resta lo es de la suma.
Ecuaciones exponenciales
La incógnita en el exponente. El tablero de ajedrez, el interés compuesto, la desintegración radiactiva — y un límite algebraico que nos dejó trabados.
Logaritmos
Napier, Briggs y la regla de cálculo. La correspondencia entre sumar y multiplicar, las tres propiedades, y el número e apareciendo por dos caminos distintos.
Funciones inversas
La misma relación, ahora como funciones: dos curvas reflejadas en el espejo de y = x, con dominios e imágenes que se intercambian entre sí.