De un rectángulo de 30 × 20 cm recortamos un cuadrado de lado x en cada esquina y doblamos las pestañas hacia arriba. Se arma una caja sin tapa. Su volumen, escrito en función de x, es un polinomio — y en esta página lo vamos a construir a mano, paso a paso.
A la izquierda, la lámina con los cuatro cortes marcados. A la derecha, la caja que resulta al doblar. Movés un solo número — el lado del corte — y las dos dependen de él.
Las tres medidas de la caja — largo, ancho y altura — son expresiones que dependen de x. El volumen es su producto. Desarrollarlo es lo que lo convierte en un polinomio.
El volumen es largo × ancho × altura. Cada medida ya la vimos en la caja de arriba:
Multiplicamos primero los dos binomios, aplicando distributiva término a término:
Multiplicamos ese resultado por el x que quedaba afuera:
Es un polinomio de grado 3: tres términos, potencias 3, 2 y 1 de x — y sin término independiente. Tiene sentido: si x = 0 no se recorta nada, no hay caja, y el volumen es 0.
El punto ámbar recorre la curva a medida que movés el control de la caja, arriba. No todas las cajas rinden lo mismo — con la misma lámina, algunos cortes dan mucho más volumen que otros.
Desafío: moviendo el control de la caja (más arriba), ¿podés encontrar el valor de x que da el mayor volumen posible? Probá varios valores — no hace falta ninguna fórmula de derivadas, alcanza con tantear.
Tu mejor marca: todavía no probaste ningún valor.
Un solo término: un número (coeficiente) multiplicado por una potencia de x.
4x³ es un monomio de grado 3.Una suma de monomios. El volumen de la caja es un polinomio de tres términos.
V(x) = 4x³ − 100x² + 600xEl mayor exponente de x que aparece. Acá aparece porque multiplicamos tres factores lineales entre sí.
grado 3 (cúbico)El número que multiplica a cada potencia de x.
4, −100 y 600 son los coeficientes.El término sin x — acá no existe (o, dicho de otro modo, vale 0). Y eso no es casualidad: si x = 0, no hay corte, no hay caja, y el volumen tiene que dar exactamente 0. El polinomio "sabe" eso.